Игорь Юрьевич Кобзев
Философские эссе для всех, кто разочарован в современном образовании
www.kobzev.net 

Меню

На начало
Об авторе
Книга
Романы
Сценарии
Статьи
Галерея
Видеолекция
 
Статьи
Количество статьи: 205
Статьи за 24 часа: 0
[ Все статьи | Поиск | Top 10 | Категории ]

Фракталомания

  Введение.

  Освальд Шпенглер в 1918 году предсказал в "Закате Европы", что наступит время когда наука отомрет и не оттого, что утратит свою эффективность, а оттого что общество утратит к ней интерес. Мы имеем несчастье жить как раз в предсказанную Шпенглером эпоху. Сейчас практически каждый слыхал о "пране" и "чакрах", многие знают, что такое "пейот" и "псилоцибин", и считается неприличным не знать, чем Hardware отличается от Software. Но невежество в области математики даже не считается невежеством, подобно тому, как эпоху материализма не считалось невежеством незнание азов теологии. В наше время выпускник средней школы знает (слыхал) математику в объеме 16го столетия, выпускник ВУЗА физико-математического профиля слыхал о математике объемом примерно до середины 19го века с редкими экскурсами в его конец. И только профессиональные математики знают, что произошло в этой области знания в 20м веке. 
  И вдруг появляются фракталы. Это настолько новое понятие, что в Математическом энциклопедическом словаре последнего издания (1988 г.) нет такого слова. Бенуа Мандельброт придумал его в 1980м году. Но ведь у этого понятия должна быть история, - история идей, которую я и хочу рассмотреть в этом эссе. 

  Пределы логики 

  В 70е годы 19го века немецкий математик Георг Кантор занялся изучением бесконечности и ее свойств. Он обнаружил, что бесконечностей много, что они имеют разную величину: так. множество всех действительных чисел больше, чем множество всех рациональных чисел, - ну это-то еще можно себе представить, а вот то, что множество всех рациональных чисел такое же по величине, как и множество всех целых чисел - это уже трудно представить. Но Кантор показал, что множество всех целых чисел равно множеству всех четных чисел, т.е. что часть равна целому. Это уже принять не мог почти никто. Но именно это определение с тех пор стало 
определением бесконечности: бесконечность - это не просто еще и еще один разок ( "дурная бесконечность" назвал ее Гегель), а это нечто (что угодно), в чем часть будет равна целому. 

  Вспомним, что фракталы устроены самоподобно, т.е. на меньшем масштабе рассмотрения фрактал выглядит так же, как и на большем - часть равна целому. 

  Открытия Кантора не очень обеспокоили математиков, ибо мало ли чего может случиться в бесконечности, главное чтобы в конечной области все было логично. Но вот в начале 20го века многие математики предприняли попытку обосновать математические истины с точки зрения логики, готорой все доверяли безусловно. И тут наружу вылезли отвратительные парадоксы, вроде известного еще древним грекам "парадокса брадобрея": Брадобрей бреет всех жителей деревни, кроме тех, кто бреется сам. Бреет ли он себя? Греки поступали просто и логично - они били софистов, пудривших мозги гражданам такими загадками. Но от этого загадки не решались. Логики начала 20го века заметили, что парадоксальность связана с неявным присутствием бесконечности - в любом из таких парадоксов присутствут слово "все". Бертран Рассел нашел решение парадоксов логики в том, что он четко выделил в этих высказываниях понятия, принадлежащие разным уровням (теория типов Рассела): патадокс возникает, когда мы смешивает понятия разных уровней. 
Так, брадобрей, который бреет всех - это одно понятие, а брадобрей, который бреет себя, - это совсем другое понятие: первое принадлежит более высокому уровню. Итак, в результате разрешения парадоксов логики, возникло понимание необходимости иерархического устройства объектов действительности, которые 
описывает математика. 

  Фракталы расположены одновременно на разных масштабных уровнях - они занимают собою иерархию 
масштабов. 
 

  Изгнание из рая моноонтичности №1 

Теория типов Рассела, утверждавшая многоуровневость ( полионтичность) реальности, так же не произвела должного впечатления на математиков, ведь они тоже были людьми, причем людьми 19го столетия, а значит глубине души лелеяли веру в то, что если как-нибудь изловчиться, придумать хорошую систему аксиом, то из них удастся логически вывести весь этот мир без этих ужасных парадоксов и без этих несводимых друг к другу уровней реальности Рассела. Великий Давид Гильберт соблазнил "малых сих" на этот путь, суля им райское блаженство логической безупречности, и большинство поверило ему. Но вот в 1932 году моноонтический мир рухнул - Курт Гедель доказал теорему о неполноте описания - ворота рая полной описуемости захлопнулись навсегда. Поразительно, что эта великая теорема, имеющая прямое отношение к тому миру, в котором мы живем в конце века, до сих пор совершенно не известна не только гуманитариям, но и подавляющему числу 
биологов и вообще естественников. Но математики приняли этот удар в самое сердце - это был поворотный пункт, после которого математика уже не могла оставаться такой, как до Геделя - это была потеря невинности. 
  После этого все и началось: 
  Гедель показал (как это замечательно описал Станислав Лем), что любая теория - это материк, и что бы мы не выводили в этой теории, мы никогда не покинем пределов этого материка. Но мы, оставаясь на этом материке, можем знать о наличии других материков и островов, но никогда не сможем перебраться на них с этого 
материка. Т.е. логика не преодолеет проливы, а значит каждый материк - это отдельная реальность, и мир полионтичен (термин Н.А.Носова). С.Феферман так сформулировал следствие теоремы Геделя: для приближения к истине необходимо совершить бесконечное число актов веры ( ибо только акты веры, изменяющие аксиомы теории, позволяют перескакивать с материка на материк). 
  В 1936 Тарский, опираясь на результат Геделя, сформулировал теорему о том, что истинность высказывания в данном языке невыразима средствами данного языка, - это было окончательным решением "парадокса брадобрея", о котором мы говорили выше. 
  В те же годы Алонсо Черч и Алан Тьюринг, опираясь на результат Геделя, пришли к заключению, что невычислимых функций значительно больше, чем вычислимых, какой бы алгоритм вычисления мы не взяли, т.е. нет достаточного количества прграмм для вычисления функций. А все, что вычислимо, вычислимо на машине Тьюринга: в 1938 году Тьюринг придумал чисто теоретически устройство, снабженное лентой, на которой последовательно нанесены символы, устройство движется вдоль ленты, считывая по одному эти символы, производя над ними арифметические операции и записывая результат в ячейку памяти. Так вот 
оказалось, что на такой машине можно вычислить ( запрграммировать на ее ленте) любую функцию, которую можно вычислить на самой сложной современной цифровой вычислительной машине ( просто ленту для машины Тьюринга будет гораздо длиннее, чем прграмма для современной машины). Но вывод Черча и 
Тьюринга особенно потрясает воображение на фоне возможностей современных вычислительных машин: и все-таки невычислимых функций неизмеримо больше, чем вычислимых. 
  В 1948 году Джон фон Нейман сделал еще один шаг в сторону "грешной земли": он решал вопрос о чисто теоретической возможности самовоспроизводящихся машин, используя в качестве исходной модели машину Тьюринга. Вывод его таков: Самовоспроизводящаяся машина возможна только в том случае, если ее носитель 
информации ( лента машины Тьюринга) будет самокопироваться - это вывод  был сделан за три года до открытия матричного копирования ДНК Уотсоном и Криком. 
  В 50е годы Клод Шеннон разработал теорию информации, в которой определил понятие информации как меру разнообразия. Это понятие сейчас знакомо всем. Но мало кто из широкой публики до сих пор знает о понятии алгоритмической информации, разработанном в 1961 году А.Н.Колмогоровым. Он определил количество информации, как минимальную длину прграммы для вычисления данной величины на машине Тьюринга. Самое большое количество информации имеет случайная последовательность чисел, ибо в ней нет никакой закономерности и поэтому ее нельзя записать короче. Наоброт, последовательность, в которой есть какая-то регулярность или повторяемость, можно задать каким-то коротким приказам повторить столько-то раз данную регулярность, т.е. такую последовательность можно сжать. Алгоритмическое задание информации позволило понять, что такое познание - это сжимание информации: если последовательность поддается сжатию, то ее можно познать, если нет (как чисто случайная последовательность или шум), то ее нельзя познать. Заменяя слово "вычислимый" в теореме Черча на слово "сжимаемый", можно сделать вывод, что несжимаемых последовательностей в этом мире гораздо больше, чем сжимаемых. Или, как на двадцать лет позже сформулирует физика, мир есть хаос с островами порядка. Но эти "райские" острова есть: их существование является следствием теоремы Рамсея, доказанной им еще в 20е годы: полный беспорядок невозможен, любая сколь угодно беспорядочная структура обязательно содержит упорядоченную подструктуру, причем если эта беспорядочная последовательность бесконечна, то в ней обязательно присутствуют сколь угодно большие упорядоченные куски последовательности. А фон Нейман в 1925 году показал, что не только упорядоченность множества является относительной, но и само понятие конечности или бесконечности зависит от способа рассмотрения множества. 
  Следовательно, мир познаваем (сжимаем), но познать его (сжать, упорядочить) в пределах одной сжимающей системы (одной теории, одной прграммы) невозможно. 
  Но при чем же сдесь фракталы? Количество информации для описания объекта в данном пространстве зависит от размерности пространства: в трехмерном пространстве для задания точки необходимо знать минимум три числа, а в двухмерном - только два. Фракталы, имея размерность меньшую, чем размерность вмещающего их пространства, действуют в этом пространстве как компрессоры разнообразия,- для задания точки на фрактале нужно знать меньше координат, чем для задания ее вне фрактала. 

  Фрактал является когнитивным ( познающим) устройством всилу его дробной размерности, меньшей чем размерность вмещающего пространства. 
 

  Изгнание из рая моноонтичности №2 

  А в это время в области топологии... Рассказывая о грехопадении логики, мы пришли к понятию размерности (фракталов и вмещающего их пространства), которое относится уже к топологии, и это не случайно. Топологию как науку создал великий Анри Пуанкаре: его фигура высится над всем двадцатым веком, как циклоп Церетели над современной Москвой. Все новые направления математической мысли двадцатого века являются развитием того, что первым обнаружил этот гигант. Достаточно сказать, что он первый увидел в своем воображении фрактальную структуру хаоса, и она поразила его своей сложностью. Пуанкаре принял теорию типов Рассела в логике и он смело перешел к полионтической реальности в мире топологии: он ввел в математику такой объект как полиэдры - тела, построенные из элементов разной размерности, причем элементы меньшей размерности образуют в них границы элементов большей размерности ( представте себе многогранник: в нем двумерные плоские грани в совокупности образуют границу трехмерного объема). 
Элементы разной размерности как бы вложены друг в друга - элемент старшей размерности вложен в конструкцию элементов младших размерностей ( причем размерности здесь понимаются в топологическом смысле, т.е. они являются целыми числами). Размерность пространства является его топологической характеристикой. Какова же размерность полиэдра, если он содержит элементы различной размерности? Принято считать, что его размерность определяется элементом самой большой размерности, подобно тому, как мы считаем многогранники трехмерными. А теперь представте, что перед вами лист бумаги - двумерный элемент - и вы начинаете его комкать, пока у вас не получится бумажный шарик. Вопрос: какова размерность этого шарика? А размерность скомканной бумажки, не достигшей состояния шарика? Такие объекты, размерность которых занимает помежуточное значение между соседними целыми числами, и названы были Бенуа Мандельбротом в 1977 году фракталами. Но изучать их начали еще в начале века: дробную размерность в 10х годах рассматривал Хаусдорф ( она и называется Хаусдорфова), а фрактальные множества тогда же изучал Гастон Жюлиа. Но видимо ближе всех к пониманию того, что дробная размерность как то связана с многоуровневостью, полионтичностью пространства, подошел американский инженер Габриэль Крон. В 30е годы он разработал математический аппарат для описания процессов в электрических машинах: он обобщил понятие электрической сети на полиэдры Пуанкаре и заметил, что такие сети могут быть пространствами нецелой размерности. В самом деле, представте себе, что вы вырезаете из бумаги выкройку для многогранника ( она конечно же двумерная), а потом вы сворачиваете ее так, чтобы получился пространственный многогранник. Но пока вы не склеили грани, какова размерность вашей конструкции? Она уже больше двух, но еще меньше трех. Крон обобщил топологию Пуанкаре практически безгранично: если топология Пуанкаре - это геометрия на резиновом шарике, который можно раздувать и скручивать, но не резать, то топология разрезаний и склеиваний Крона или "тиринг-топология" (которая была обобщением работ Кирхгоффа прошлого века по 
описанию соединений электрических сетей) позволяла конструировать любые пространства. Фактически Крон описывал процесс преобразования топологии пространства - изменение его размерности - при протекании тока в таких экзотических сетях, т.е. текущий ток как бы сам осуществлял конструирование полиэдральной сети. Крон назвал такую сеть с протекающим по ней током "живой сетью". Если бы математики принимали всерьез инженеров, то уже в 30е годы был бы осознан этот удивительный объект, который в 60е годы получил название "топос". Но математики не принимают всерьез инженеров, поэтому "великая топологическая революция" в математике произошла в 50е-70е годы, неожиданно завершив собою логическую революцию, начатую Куртом Геделем. 
  Идя по пути, намеченному Пуанкаре, французский математик Лаверр в 60е годы ввел понятие "топоса" или пространства с переменной топологией. А Герок доказал теорему о том, что в топосах логика и топология дополнительны друг другу, т.е. процесс, проткающий в топосе можно описывать в рамках обычной Аристотелевской логики, но по ходу этого процесса мы будем наблюдать изменение топологии пространства (совсем как у Крона: при протекании тока происходят перестройки "живой сети"), или если мы будем оставаться в неизменной топологии, то тот же самый прцесс будет протекать с нарушениями логики - мы будем наблюдать парадоксы логики. Вот! Круг эвлюции математики в 20м веке замкнулся: начав с парадоксов логики, математика пришла к топологическому обоснованию присины этих парадоксов, и причина их - полионтичность ( политопологичность) этого мира. 
  При чем же здесь фракталы? Мы уже сказали выше, что полиэдр, который находится в состоянии становления, но еще не достиг состояния, когда новый старший элемент - напимер объем - возникнет и "вложится" в границы предыдущего элемента - поверхности. будет характеризоваться дробной размерностью. Но в топосах, как и в "живых сетях" Крона, ток логики не перестает течь, а значит конструкции новых размерностей не перестают возникать, а значит объект это вцелом будет характеризоваться дробной размерностью, т.е. будет фракталом. 

  Фрактал - объект с непрекращающимся возникновением элементов с новой размерностью, новой топологией. 
  Фрактал - это конструкция времени или Хронотоп. 
 

  Обретение вечности 

  Хронотоп - это тело времени, так же как китайские художники называли раскачивающийся лес "телом ветра". Вообще, можно определить время как пространство в процессе становления, а пространство, как ставшее время. Математики давно пользуются этим приемом, считая медленно изменяющиеся величины постоянными ( пространством), а бысто меняющиеся величины - описывающими искомый процесс ( временем). (Разделение переменных на эти две категории известно с 50х годов как теорема Тихонова). Эти две компоненты - пространство и время - присутствуют в любом описании: в физике они рассматриваются как дополнительность динамики и геометрии,  причем чем проще явление, тем меньше в его описании геометрии и тем больше динамики ( например в описании движения маятника), и наоборот, в сложных явлениях доля геометрии (топологии) в описании возрастает ( как это мы наблюдаем в описании машин Кроном). Сведение максимального количества динамических процессов к геометрии пространства известно в физике как программа Клиффорда с 70х годов 19го века. Именно в рамках этой программы Эйнштейн свел силу гравитации к искривленной геометрии пространства. Но более всего продвинулся на этом пути Крон, сведя к 
геометрическим (топологическим) преобразованиям описание работы сложных машин, при этом динамика или физика их сводилась к элементарному уравнению Ома для тока. При этом общая динамика явления складывается из динамики тока, сопровождающейся преобразованием топологии пространства, в котором он 
распространяется. Где здесь время и где здесь пространство? Если геометрия (топология) преобразуется, то значит все есть время. В мире есть только время, обладающее сложной топологией, а пространство - это абстрагирование от преобразований этой топологии на выбранных масштабах времени. Фракталы - это следы такого времени в мире. Поэтому все объекты, которые обладают развитием (а таковы все объекты в соответствующем масштабе времени), имеют фрактальное строение: таковы деревья, облака, береговая линия, турбулентный след в воде за лодкой и т.д. 
  Но исходя из провозглашенной дополнительности пространственного и временного описания реальности можно не только "овременять" геометрию, что и сделано в топосах и "живой сети" Крона, но и "опространствливать" время, и тогда мы получим новый аспект фракталов - вневременной. Рассматривая простую динамику, представимую некоторым потоком переменной величины из его источника до его стока, мы задаем однонаправленное время процесса. Представим себе, что мы рассматриваем два таких процесса, граничащих между собой в области своих истоков. Здесь присутствуют два разнонаправленных времени. Граница между этими областями в математике называется "сепаратриса", а в физике "фазовым переходом". Так вот оказывается, как показали Пайтген и Рихтер в 80е годы, что граница эта имеет фрактальное строение. Математически эту границу можно себе представить, как область на плоскости комплексных чисел, разделяющую числа, которые при многократном последовательном возведении их в квадрат устремляются к нулю, и числа, которые при той же операции с ними, устремляются в бесконечность. Внимательный читатель заметит, что эта область должна быть тождественна единичной окружности. Но каково же было удивление Пайтгена и Рихтера, когда оказалось, что эта замкнутая кривая причудливо извиваясь, демонстрирует нам фрактальное множество Жулиа. Более того, какие бы фазовые переходы мы не изучали, везде мы найдем подобные фрактальные множества. Что такое множество Жулиа с точки зрения времени процессов, которые оно разделяет? Это область безвременья, область, где одно время кончилось, а другое еще не началось - такова природа всех фазовых переходов. В них как бы слипаются два времени, взаимно друг друга уничтожая. 
  В 60е годы Александр Гротендик ввел в математику слипшиеся ( или незамкнутые) точки. До этого  со времени древних греков математика изучала только обыкновенные неслипшиеся ( замкнутые) точки: между любыми двумя из них можно всунуть еще одну. Гротендик ввел объект, в котором могут слипнуться два прцесса, а 
может один процесс слипнуться сам с собой, образовав логический круг - ссылку на себя. Слипшаяся точка - носитель парадоксов. Именно благодаря слипанию в нашем понимании двух брадобреев - того, который бреется сам, и того, который бреет всех, возникает парадокс брадобрея, о котором мы говорили выше. И мы знаем, что согласно Расселу, для разрешения этого парадокса надо "разлепить" этих брадобреев, совершив преобразование топологии пространства, сделав последнее многоуровневым, полионтическим - построив фрактал, другими словами. Поэтому слипшаяся точка всегда указывает на скрывающийся в ней и за ней фрактал. Слипшаяся ( незамкнутая) точка выстраивает его ( организует) из других незамкнутых точек, которые, в свою очередь, выстраивают обыкновенные замкнутые точки в иерархию фрактального образования. Фактически в слипшейся точке реализовалась идея Лейбница о Монаде и ее свойствах. 

  Фрактал - форма безвременья, форма границы времени. 

  Таким образом математика к концу века пришла к описанию объектов, со свойств которых началось изгнание математики из ее райского состояния в начале века. Достигла ли математика своей земли обетованной за этот век скитаний по логической пустыне кишащей фрактальными чудовищами? По крайней мере физика благодаря этим скитаниям стала ближе к миру реальности: в 70-80е годы синергетика осознала время как реальность, обладающую формой, о которой можно мыслить в категориях топосов математики. А в 90е годы внимание физики сосредоточилось на вневременье и его носителе - вакууме, и это стало началом физики нового века, 
которая будет описывать эту реальность языком слипшихся точек Гротендика. А сами математики, что они? Протоиерей Александр Геронимус, бывший математик, последнюю (прошлогоднюю) свою статью посвятил проблеме смирения, метод которого был открыт преподобному Силуану:" держи ум свой во аде и не отчаивайся". Видимо, не случайно бывшего математика привлекла именно эта формулировка.



Дата: 24.12.2004, Просмотров: 2754


Articles © ZiZ
phpMew © ZiZ 2004